Maths Boite (Brique de lait, boite de conserve)

S'il vous plait aidez moi (ça parait long mais en faite non pas tellement).

Première partie : Les brique de lait.
Dans le commerce le lait est le plus souvent conditionné dans des briques cartonnées de contenances 1 litres.
Le but de cette première partie est de déterminer si le brique de lait de commence sont fabriquées de façon a utilisé le moins de matière première possible c'est-à-dire à minimiser l'aire de leur surface totale.
On considère un parallélépipède rectangle de volume 1 litre dont la base est un rectangle de dimentions x et y et de hauteur z , l'unité étant en centimètre.

1. Sachant que le volume d'un litre (a convertir en cm³) exprimer z en fonction de x et y .

2. En déduire une expression, en fonction de x et y , de l'aire de la surface totale S(x,y) du parallélépipède rectangle.

3 A l'aide d'un tableur réaliser un tableau a double entrée calculant l'aire de la surface totale du parallélépipède rectangle en fonction des valeurs prises par x et y ou x et y sont les nombres entiers compris entre 0 et 20.
En déduire les valeurs de x et y qui semble minimiser l'aire de la surface totale de parallélépipède rectangle.
En déduire la valeur de z correspondant.

4. Les dimensions ainsi déterminées correspondent-elles aux dimensions des briques de lait du commerce?

Deuxième partie : Les boites de conserve
Préliminaires : L'unité est le centimètre
- Faire le patron d'une boite cylindrique avec r=2 et h=9, puis calculer son volume ainsi que l'aire de sa surface totale.
- Faite le patron d'une boite cylindrique avec r=3 et h=4, puis calculer son volume ainsi que l'aire de sa surface totale.
Vous devez conditionner un aliment dans des boites cylindriques. Un fabricant de boites cylindriques vous propose les deux modèles précédents, leurs prix dépendent de la quantité de métal qui les compose.
Quel modèle avez vous intérêt à choisir?

Dans le vie courante :
Dans les rayons du supermarché il y a deux sortes de boite de conserve cylindriques 420mL : certaine contiennent des légumes ( mais par exemple), d'autres des fruits au sirop (ou des plats préparés par exemple).
Les fabricants ne sont pas des philanthropes : ils cherchent à faire des économie.

On note r le rayon de la base (en cm) et h la hauteur de la boites (en cm).

Première stratégie : on cherche à opimiser la quantité de métal qui entre dans la composition de la boite, c'est-à-dire a minimiser l'aire de la surface totale de celle-ci.
1. Sachant que le volume V de la boite de conserve est égal à 425 mL (à convertir en cm³), exprimer h en fonction de r. En déduire que l'aire totale de la boite est : S(r)=850/r +2*Pi*r² .
2. En utilisant l'outil de votre choix (calculatrice, logiciel,... ) déterminer une valeur approchée au dixième du rayon qui minimise l'aire de la surface totale de la boite.

Seconde stratégie : en coupant les cylindres de métal, il y a trop de perte; et cette perte c'est de le l'argent...
On cherche à optimiser la quantité de métal perdu lors de la fabrication de la boite, c'est-à-dire à minimiser la quantité totale de métal utiliser lors de la fabrication de le boite.
1. Les disque servant à fabriquer les boites sont découpé dans des carrés.
Montrer que pour une boite l'aire totale de la surface le métal utilisé est alors donné par : S(r) = 850:r +8 r²
En utilisant l'outil de votre choix (calculatrice, logiciel, ....), déterminer une valeur approchée au dixieme du rayon qui minimise la surface de métal utilisé.

2. En découpant les disques dans des hexagones améliore-t-on cette stratégie?
Mesure les dimensions des boites des conserve cylindriques de contenance 425mL du commence. Qu'en pensez-vous. Et pour les boites de conserve cylindriques de contenances 850mL?

D'autres boites de conserve :
Il existe aussi des boites de conserve presque parallélépipède de contenance 425 mL.
En notant x,y et z les trois dimensions d'une boite parallélépipède de volume 425 mL, Exprimer sa surface totale en fonction de x et y .
A l'aide d'un tableur, déterminer les valeurs de x et y qui minimise cette surface totale.

Les dimensions ainsi déterminer correspondent-elles aux dimensions des boites de conserve du commerce?